
Apple Watchにアプリを入れたい場合は、App StoreからApple Watch対応の物を探してiPhoneにインストールするとアプリが追加されます。
Apple Watch アプリインストール
初期設定の最後の iPhoneとApple Watchの同期 にて「すべてをインストール」を選択している場合は、iPhoneにインストールしたアプリにApple Watch対応版があればインストールされています。

例としてApple WatchからiPhoneのバッテリー充電がわかるアプリと雨降りアラートを出すアプリをインストールしてみます。
iPhoneのApp Storeアプリからダウンロード
やりかたは2通りあります。最初は、iPhone のアプリをインストールするときと同様に「App Store」アプリを起動します。


アプリの説明に入ると、「iPadおよびApple Watch Appも提供」とあります。これが無いとインストールしても無駄です。
これで先ほどのアイコンからiPhoneにダウンロードします。

iPhoneにある「Watch」アプリを開きます。

「マイウォッチ」の下を探すと先ほどのアプリが「利用可能なAPP」というところにあり、インストール中であることがわかります。
インストールが完了すると、その上の「APPLE WATCH上にインストール済み」リストアップされてきます。

ここでは自動的にApple Watchアプリをインストールする設定になっているのですが、オフにすることも可能です。
このWatchアプリの「一般」に入ると「Appの自動インストール」があるのでオン・オフの設定ができます。

もし、Apple Watchのアプリをダウンロードしたのにインストールされて来ない場合はこの設定を変えるか、直接この「利用可能なAPP」からインストールさせることができます。
これでApple Watchのアプリ一覧を見てみると、先ほどのアプリがリストに載っています。

(アプリ一覧がデフォルトのグリッドは生理的にダメなのでリスト表示にしています)

これでアプリを起動してみると、

Apple WatchでiPhoneのバッテリー残量が分かるようになりました。
WatchアプリのApp Storeからダウンロード
Apple Watchアプリ対応かどうか探しやすくしたものが「Watch」アプリにあります。
「Watch」アプリの下にある「App Store」タグを選択します。

検索でアプリを検索します。今度は「雨降りアラート」という無料アプリをインストールしてみたいと思います。これで「入手」からダウンロードしていきます。

「マイウォッチ」をみるとインストール済みに登録されています。

Apple Watchのアプリ一覧にもリストアップされています。(このアプリは地域設定をiPhone側にあるアプリで行う必要はありますが)

アプリを起動してみます。これで急な雷雨でお知らせしてくれるでしょう。(多分)

References:
Apple Watch で App を使う – Apple サポート
Apple Watch を設定する – Apple サポート